SEGUNDO B: Ecuacion de la Elipse con CENTRO (H, K)

TAREA #11

La ecuación de la elise con centro en el punto $C(h,k)$ es:

$\begin{equation*} \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

donde $a$ es la mitad de la longitud del eje mayor y $b$ es la mitad de la longitud del eje menor.

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

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Como era de esperarse, las fórmulas para el cálculo de los focos, sus vértices, etc. cambian. Por ejemplo, para calcular los vértices de la elipse horizontal, ahora utilizaremos las fórmulas:

La siguiente extensión al caso de la ecuación de la elipse en su primera forma ordinaria es considerar con centro fuera del origen, lo que nos lleva a la segunda forma ordinaria.

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Ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria

La ecuación de la elise con centro en el punto $C(h,k)$ es:

$\begin{equation*} \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 \end{equation*}$

donde $a$ es la mitad de la longitud del eje mayor y $b$ es la mitad de la longitud del eje menor.

Geométricamente tenemos la siguiente situación:

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Como era de esperarse, las fórmulas para el cálculo de los focos, sus vértices, etc. cambian. Por ejemplo, para calcular los vértices de la elipse horizontal, ahora utilizaremos las fórmulas:

$\begin{eqnarray*} V(h + a, k) &\mbox{ y }& V'(h - a , k) \end{eqnarray*}$

Y para el caso de la elipse vertical tenemos:

$\begin{eqnarray*} V(h, k + a) &\mbox{ y }& V'(h , k - a) \end{eqnarray*}$

Por su parte los focos de la elipse horizontal se calculan con:

$\begin{eqnarray*} F(h + c,k) &\mbox{ y }& F'(h - c , k) \end{eqnarray*}$

Y para la elipse vertical:

$\begin{eqnarray*} F(h ,k + c) &\mbox{ y }& F'(h , k - c) \end{eqnarray*}$

Ejemplo 1

Calcula la ecuación de la elipse horizontal que tiene su centro en el punto $C(2,-1)$ y cuyo eje mayor mide 10 unidades y el eje menor mide 6 unidades.

Del texto del problema es facil ver que $h = 2$ y que $k = -1$ . También $a = 5$ y $b = 3$ . Luego, la ecuación de esta elipse es:

$\begin{equation*} \frac{(x - 2)^2}{25} + \frac{(y + 1)^2}{9} = 1 \end{equation*}$

A partir de los valores de $a$ y $b$ podemos calcular el valor de $c$ :

$\begin{equation*} c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \end{equation*}$

Los focos de esta elipse están en los puntos:

$\begin{eqnarray*} F(h + c,k) = F(6,-1) &\mbox{ y }& F'(h - c , k) = F'(-2,-1) \end{eqnarray*}$

Los vértices están en:

$\begin{eqnarray*} V(h + a, k) = V(7,-1) &\mbox{ y }& V'(h - a, k) = V'(-3 , -1) \end{eqnarray*}$

La gráfica de esta elipse es la siguiente:

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La excentricidad de esta elipse es:

$\begin{equation*} e = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6 \end{equation*}$

DEBER

. Hallar las coordenadas de los vértices, focos, LLR, excentricidad y la gráfica de la elipse cuya ecuación es

$\displaystyle \frac{{{\left( x-2 \right)}^{2}}}{9}+\frac{{{\left( y+1 \right)}^{2}}}{4}=1$

SEGUNDO B

lunes, 25 de mayo de 2020

Ecuacion de la Elipse con CENTRO (H, K)

Ecuación de la elipse en su segunda forma ordinaria

Ejemplo 1

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